فلسفة الرياضيات

[الاستاذ على الدين يحيى]

تواريخ مهمة في الرياضيات

3000 ق.م استخدم قدماء المصريين النظام العشري. وطوروا كذلك الهندسة وتقنيات مساحة الأ راضي.
370 ق.م عرف إيودكسس الكندوسي طريقة الاستنفاد، التي مهدت لحساب التكامل.
300 ق.م أنشأ إقليدس نظامًا هندسيًا مستخدمًا الاستنتاج المنطقي.
787م ظهرت الأرقام والصفر المرسوم على هيئة نقطة في مؤلفات عربية قبل أن تظهر في الكتب الهندية.
830م أطلق العرب على علم الجبر هذا الاسم لأول مرة.
835م استخدم الخوارزمي مصطلح الأصم لأول مرة للإشارة للعدد الذي لا جذر له.
888م وضع الرياضيون العرب أولى لبنات الهندسة التحليلية بالاستعانة بالهندسة في حل المعادلات الجبرية.
912م استعمل البتاني الجيب بدلا من وتر ضعف القوس في قياس الزوايا لأول مرة.
1029م استغل الرياضيون العرب الهندسة المستوية والمجسمة في بحوث الضوء لأول مرة في التاريخ.
1142مترجم أديلارد ـ من باث ـ من العربية الأجزاء الخمسة عشر من كتاب العناصر لأقليدس، ونتيجة لذلك أضحت أعمال أقليدس معروفة جيدًا في أوروبا.
منتصف القرن الثاني عشر الميلادي. أُدْخِلَ نظام الأعداد الهندية ـ العربية إلى أوروبا نتيجةً لترجمة كتاب الخوارزمي في الحساب.
1252م لفت نصير الدين الطوسي الانتباه ـ لأول مرة ـ لأخطاء أقليدس في المتوازيات.
1397م اخترع غياث الدين الكاشي الكسور العشرية.
1465م وضع القلصادي أبو الحسن القرشي لأول مرة رموزًا لعلم الجبر بدلاً عن الكلمات.
1514م استخدم عالم الرياضيات الهولندي فاندر هوكِي اشارتي الجمع (+) والطرح (-) لأول مرة في الصيغ الجبرية.
1533م أسس عالم الرياضيات الألماني ريجيومونتانوس، حساب المثلثات كفرع مستقل عن الفلك.
1542م ألف جيرولامو كاردانو أول كتاب في الرياضيات الحديثة.
1557م أدخل روبرت ركورد إشارة المساواة (=) في الرياضيات معتقدًا أنه لا يوجد شيء يمكن أن يكون أكثر مساواة من زوج من الخطوط المتوازية.
1614م نشر جون نابيير اكتشافه في اللوغاريتمات، التي تساعد في تبسيط الحسابات.
1637م نشر رِينيه ديكارت اكتشافه في الهندسة التحليلية، مقررًا أن الرياضيات هي النموذج الأمثل للتعليل.
منتصف العقد التاسع للقرن السابع عشرالميلادي. نشر كل من السير إسحق نيوتن وجوتفريد ولهلم ليبنتز بصورة مستقلة اكتشافاتهما في حساب التفاضل والتكامل.
1717م قام أبراهام شارب بحساب قيمة النسبة التقريبية حتى 72 منزلة عشرية.
1742م وضع كريستين جولدباخ ما عُرف بحدسية جولدباخ: وهو أنّ كلّ عدد زوجي هو مجموع عددين أوليين. ولا تزال هذه الجملة مفتوحة لعلماء الرياضيات لإثبات صحّتها أو خطئها.
1763م أدخل جسبارت مونيي الهندسة الوصفية وقد كان حتى عام 1795م يعمل في الاستخبارات العسكرية الفرنسية.
بداية القرن التاسع عشر الميلادي. عمل علماء الرياضيات كارل فريدريك جوس ويانوس بولْياي، نقولا لوباشيفسكي، وبشكل مستقل على تطوير هندسات لا إقليدية.
بداية العقد الثالث من القرن التاسع عشر. بدأ تشَارْلْز بَبَاج في تطوير الآلات الحاسبة.
1822م أدخل جين بابتست فورييهٌْ تحليل فورييه.
1829م أدخل إفاريست جالوا نظرية الزمر.
1854م نشر جورج بولي نظامه في المنطق الرمزي.
1881م أدخل جوشياه وِيلارد جبس تحليل المتجهات في ثلاثة أبعاد.
أواخر القرن التاسع عشر الميلادي. طور جورج كانتور نظرية المجموعات والنظرية الرياضية للمالانهاية.
1908م طور إرنست زيرميلو طريقة المسلمات لنظرية المجموعات مستخدمًا عبارتين غير معروفتين وسبع مسلمات.
1910-1913م نشر أَلفرد نورث وايتهيد وبرتراند رسِل كتابهما مبادئ الرياضيات وجادلا فيه أنّ كل الفرضيات الرياضية يمكن استنباطها من عدد قليل من المسلمات.
1912م بدأ ل. ي. ج. برلور الحركة الحدسية في الرياضيات باعتبار الأعداد الطبيعية الأساس في البنية الرياضية التي يمكن إدراكها حدسيًا.
1921م نشر إيمي نوذر طريقة المسلمات للجبر.
بداية الثلاثينيات من القرن العشرين الميلادي. أثبت كورت جودل أن أي نظام من المسلمات يحوي جملاً لا يمكن إثباتها.
1937م قدم أَلانْ تُورنْج وصفًا لــ " آلة تَورنج " وهي حاسوب آلي تخيلي يمكن أن يقوم بحل جميع المسائل ذات الصبغة الحسابية.
مع نهاية الخمسينيات وعام 1960م دَخَلت الرياضيات الحديثة إلى المدارس في عدة دول.
1974م طور روجر بنروز تبليطة مكونة من نوعين من المعينات غير متكررة الأنماط. واكتشف فيما بعد أن هذه التبليطات التي تدعي تبليطات بنروز تعكس بنية نوع جديد من المادة المتبلورة وشبه المتبلورة.
سبعينيات القرن العشرين ظهرت الحواسيب المبنية على أسس رياضية، واستخدمت في التجارة والصناعة والعلوم.
1980م بحث عدد من علماء الرياضيات المنحنيات الفراكتلية، وهي بنية يمكن استخدامها لتمثيل الظاهرة الهيولية.

[الاستاذ على الدين يحيى]

أهمية الرياضيات

يمكن تقسيم الرياضيات إلى رياضيات بحتة ورياضيات تطبيقية.

وتهتم الرياضيات البحتة بتطوير المعرفة الرياضية لذاتها دون اعتبار لتطبيق حالي عاجل، فمثلاً، قد يبتدع أحد علماء الرياضيات عالمًا خياليًا لكل شيء فيه أبعاد أخرى غير الطول والعرض والارتفاع. وتهتم الرياضيات التطبيقية بتطوير أساليب رياضية لتستخدم في العلوم والمجالات الأخرى.

والحدود بين الرياضيات البحتة والتطبيقية ليست دائمًا واضحة. فغالبًا ما تجد تطبيقات عملية لأفكار طورت في الرياضيات البحتة، وكثيرًا ما تقود أفكار في الرياضيات التطبيقية إلى أبحاث في الرياضيات البحتة.

ويتأثر كل جزء من حياتنا تقريبًا بالرياضيات. ولعبت الرياضيات دورًا أساسيًا في تطور التقنية الحديثة ـ كالأدوات، والتقنيات، والمواد، ومصادر الطاقة التي جعلت حياتنا وعملنا أكثر يسرًا.

في الحياة اليومية. تتدخل الرياضيات في تفاصيل حياتنا اليومية البسيطة منها والمعقدة. ففي الأمور البسيطة نتعرف على الوقت، وباقي نقودنا بعد شراء شيء ما، وفي الأمور المعقدة كتنظيم ميزانية البيت أو تسوية دفتر الشيكات.وتستخدم الحسابات الرياضية في الطبخ والقيادة والبستنة، والخياطة، ونشاطات عامة عديدة أخرى. وتؤدي الرياضيات كذلك دورًا في العديد من الهوايات والألعاب الرياضية.

في العلوم. للرياضيات دور هام في جميع الدراسات العلمية تقريبًا إذ تساعد العلماء على تصميم تجاربهم وتحليل بياناتهم. ويستخدم العلماء الصيغ الرياضية لتوضيح ابتكاراتهم بدقة، ووضع التنبؤات المستندة إلى ابتكاراتهم.

وتعتمد العلوم الفيزيائية، كغيرها من العلوم مثل الفلك، والكيمياء إلى حد كبير على الرياضيات. كما تعتمد العلوم الإنسانية كالاقتصاد، وعلم النّفس، وعلم الاجتماع بقدر كبير على الإحصاء وأنواع أخرى في الرياضيات. فمثلاً، يستخدم الاقتصادي الحاسوب لتصميم رياضي للأنظمة الاقتصادية . وتستخدم نماذج الحاسوب هذه مجموعة من الصيغ لمعرفة مدى التأثير الذي قد يحدثه تغير في جزء من الاقتصاد على الأجزاء الأخرى.

في الصناعة. تساعد الرياضيات الصناعة في التصميم، والتطوير، واختبار جودة الإنتاج والعمليات التصنيعية. فالرياضيات ضرورية لتصميم الجسور، والمباني،والسدود والطرق السريعة، والأنفاق، والعديد من المشاريع المعمارية والهندسية الأخرى

في التجارة. تُسْتَخْدَم الرياضيات في المعاملات المتعلقة بالبيع والشراء. وتكمن حاجة الأعمال التجارية الى الرياضيات في حفظ سجلات المعاملات كمستويات الأسهم، وساعات عمل الموظفين ورواتبهم. ويستخدم المتعاملون مع البنوك الرياضيات لمعالجة واستثمار سيولتهم النقدية. وتساعد الرياضيات كذلك شركات التأمين في حساب نسبة المخاطرة وحساب الرسوم اللازمة لتغطية التأمين.

[الاستاذ على الدين يحيى]

قارن بين الرياضيات و المنطق؟

الطريقة مقارنة.

1/المقدمة:أـ تمهيد:إشارة إلى العلوم المختلفة التي أبدعها الإنسان و التي من بينها العلوم العقلية كالمنطق والرياضيات.

ب ـ طرح الاشكال: إذا كان المنطق و الرياضيات من العلوم العقلية فهل هما متفقان أم وراء هذا الاتفاق الظاهري اختلاف جوهري؟

2/ التوسيع:من تعريفها:

1ـ أوجه الاتفاق:هما إنتاج عقلي

ـ يهتمان بدراسة المواضيع المجردة (الفكر و الكم)

ـ يتفقان في المنهج(استنتاجيان)

2 ـ أوجه الاختلاف: ـالرياضيات:

1ـ التعاريف والبديهيات في الرياضيات أكثر.

2ـ الرياضي حر كأن يمدد الخطوط ينصف الزوايا...

3ـ الرياضيات يمكن أن تكون استقرائية ايضا

4ـ الرياضيات منتحية و الخصبة ( بونكاري، غوبلو، )

5ـ نتائج الرياضيات صحيحة دائما لأنّها تعتمد على قضايا سبق التسليم بها و تدرس قضايا مجردة لا علاقة لها بالواقع.

6ـ تاريخيا الرياضيات ظهرت في القرن ال6 ق م هذا عند اليونان فقط.( على طاليس )

7 ـ العلاقة في الرياضيات هي علاقة مساواة أو عدم مساواة.

8 ـ الرياضيات تستعمل الرموز.

9 ـ موضوعها الكم المجرد بنوعيه المتصل و المنفصل

أمّا المنطق:

ـ التعاريف قليلة و البد يهيات 3 فقط (ما يصدق على الكل يصدق على الجزء، المساويان لثالث متساويان، مبدأ الهوية.)

ـ المنطقي مقيد بمقدمتين و بشروط.....

المنطق استنتاجي دوما.

ـ المنطق عقيم و مصادرة على المطلوب (ابن تيمية،القول ، ج س مل).

ـ المنطق لا يكون صحيحا إلا وفق الشروط أو القواعد العامة والخاصة كما يرى أرسطو.

ـ المنطق ظهر في القرن ال3 ق م على يد أرسطو.

ـ العلاقة في المنطق هي علاقة استغراق أو عدم استغراق.

ـ المنطق يستعمل الألفاظ.

ـ موضوع المنطق الفكر السليم.

3/ مواطن التداخل: إن كل من المنطقي و الرياضي لا يفعل أي شيء إذا لم يعتمد على مبادئ العقل، و يمكن أن يعتمد المنطق على الرياضيات باستعارته لرموزها ( المنطق الرياضي ) و الرياضيات المعاصرة استعملت المنطق أساسا لها و هذا ما سمح بظهور النسق الأكسيومي. إذن فالعلاقة هي علاقة تكامل.

الخاتمة: نسبة الترابط:

إن الرياضيات رغم من طابعها التجريدي فإنها تدرس الكون و تـقيسه قياسا كميا و بذلك ساعدت على تطور المعرفة العلمية التي تتصف بالكمية. و المنطق يهتم بالفكر و يصونه من الوقوع في التناقض، فبواسطة المنطق يكون فكرنا سليم، و يكون أداة لا قناع الآخرين و إيضاح للمعارف... و عليه كلا العلمين أداة في تطوير معارف الإنسان و خدمته.

[الاستاذ على الدين يحيى]

ما علاقة الرياضيات بالعلوم التجريبية ؟

الطريقة مقارنة :

المقدمة :

أ\ تمهيد : يبدو من الوهلة الاولى أن الرياضيات ذات الطابع العقلي تختلف عن العلوم الطبيعية التجريبية ...

ب / طرح الاشكال : فهل هناك علاقة بينهما رغم هذا الاختلاف ؟

التحليل :

أ ـ اوجه الاتفاق :1 ـ نشات الرياضيات نشاة حسية الهندسة عند الفراعنة و الطفل و البدائي، مثلها مثل العلوم الطبيعية

2 كل منهما نتاج تفكير،ـ يصلان الى نتائج،ـ يكونان مفاهيم، ـ يكتشفان قوانين

3 قوانين العلوم و قواعد الرياضيات تتسم كلها بالتعميم ، ولا تقف عند الجزئية الواحدة .أرسطو :"لا علم الاّ بالكليات".4 لغتهما معا رموز.

ب ـ اوجه الاختلاف : الرياضيات ـ موضوعها مجرد ، ـ منهجها استنتاجي و قدج يكون استقرائي ، ـ طابعها تجريدي ، ـ قضاياها تحليلية و في نفس الوقت تركيبية، ـ الصدق فيها صوري ، ـ تتصف بالدقة و اليقين اكثر .

أما العلوم الطبيعية : ـ موضوعها مادي ، ـ منهجها استقرائي دوما، ـ طابعها تجريبي ، ـ قضاياها تركيبية ، ـ الصدق فيها واقعي تجريبي ، ـ تتصف بدقة و يقين أقل .

ج ـ مواطن التداخل : ان العالم الطبيعي يتاثر بالرياضي حينما يصوغ قوانينه بشكل رياضي و الرياضي يزداد يقينا حينما تثبت التجربة صحة استدلاله < عد الى تاثير الرياضيات في العلوم > كما أن المفاهيم الرياضية تصورات خاوية ما لم تجسد في العلوم .

خاتمة : ان العلم في تطور نحو الدقة و الضبط و مرد ذلك الى الاستعانة بالرياضيات ، و الرياضيات كانت لها قيمة لحاجة العلوم اليها و عليه فهما متكاملان .





فروع الرياضيات

للرياضيات فروع عديدة. وقد تختلف هذه الفروع في نوعية مسائلها والتطبيقات العملية لنتائجها. وعلى أية حال، فغالبًا مايشترك علماء الرياضيات العاملون في شتى الفروع في استخدام نفس المفاهيم والعمليات الأساسية. ويناقش هذا البند بعض الأنواع الأساسية في الرياضيات.
الحساب. يشمل دراسة الأعداد الصحيحة والكسور والأعداد العشرية وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة. وهو بمثابة الأساس لأنواع الرياضيات الأخرى حيث يقدم المهارات الأساسية مثل العد وتجميع الأشياء والقياس ومقارنة الكميات

الجبر. خلافًا للحساب، فالجبر لا يقتصر على دراسة أعداد معينة، إذ يشمل حل معادلات تحوي أحرفًا مثل س وص، تمثل كميات مجهولة. كذلك يستخدم في العمليات الجبرية الأعداد السالبة والأعداد الخيالية (الجذور التربيعية للأعداد السالبة).

الهندسة. تدرس الهندسة خواص وعلاقات الأشكال في الفضاء. وتدرس الهندسة المستوية المربعات والدوائر والأشكال الأخرى في المستوى، وتُعنى الهندسة الفراغية بدراسة الأشكال ذات الأبعاد الثلاثة مثل المكعب والكرة.

وفي حوالي 300 ق.م، وضع عالم الرياضيات الإغريقي إقليدس، تعاريف وفرضيات نظام للهندسة يصف العالم كما نعيشه. وفيما بعد طوّر علماء الرياضيات نظمًا بديلة للهندسة رفضت فرضية إقليدس المتعلقة بالمستقيمات المتوازية. وقد أثبتت هذه الهندسات المخالفة لفرضية إقليدس (الهندسة اللاإقليدية) فائدتها ـ على سبيل المثال ـ في النظرية النسبية التي تُعَدُّ واحدة من الإنجازات القيّمة للتفكير العلمي

الهندسة التحليلية وحساب المثلثات. تربط الهندسة التحليلية بين الجبر والهندسة، فهي تعطي تمثيلاً لمعادلة جبرية بخط مستقيم أو منحنٍ. وتجعل من الممكن التعبير عن منحنيات عدة بمعادلات جبرية، ومثال على ذلك: فإن المعادلة س= ص² تصف منحنى يُسمى القطع المكافئ.

ويستخدم الفلكيون والبحارة والمساحون حساب المثلثات بشكل كبير لحساب الزوايا والمسافات في حالة تعذر القياس بطريقة مباشرة. ويبحث حساب المثلثات في العلاقة بين أضلاع وزوايا المثلث، وعلى الأخص المثلث قائم الزاوية (مثلث إحدى زواياه 90°). وتسمى العلاقات بين أطوال ضلعين في مثلث قائم الزاوية بالنسب المثلثية. وباستخدام هذه النسب يمكن حساب الزوايا وأطوال أضلاع المثلث غير المعلومة من الزوايا والأطوال الأخرى المعلومة. وتصف المعادلات المتضمنة لنسب مثلثية المنحنيات التي يستخدمها الفيزيائيون والمهندسون لتحليل خواص الحرارة والضوء والصوت والظواهر الطبيعية الأخرى

حساب التفاضل والتكامل والتحليل. له تطبيقات عدة في الهندسة والفيزياء والعلوم الأخرى. ويمدنا حساب التفاضل والتكامل بطرائق لحل عديد من المسائل المتعلقة بالحركة أو الكميات المتغيرة. ويبحث حساب التفاضل في تحديد معدل تغير الكمية. ويستخدم لحساب ميل المنحنى والتغير في سرعة الطلقة. أما حساب التكامل فهو محاولة إيجاد الكمية بمعلومية معدل تغيرها، ويستخدم لحساب المساحة تحت منحنى ومقدار الشغل الناتج عن تأثير قوة متغيرة. وخلافًا للجبر، فإن حساب التفاضل والتكامل يتضمن عمليات مع كميات متناهية الصغر (كميات صغيرة ليست صفرًا ولكنها أصغر من أي كمية معطاة).

ويتضمن التحليل عمليات رياضية متعددة تشمل اللانهاية والكميات المتناهية الصغر. ويدرس التحليل المتسلسلات اللانهائية وهي مجاميع غير منتهية لمتتابعات عددية أو صيغ جبرية. ولمفهوم المتسلسلات اللانهائية تطبيقات مهمة في مجالات عدة مثل دراسة الحرارة واهتزازات الأوتار

الاحتمالات والإحصاء. الاحتمالات دراسة رياضية لمدى احتمال وقوع حدث ما. ويُسْتَخْدَم لتحديد فرص إمكانية وقوع حادث غير مؤكد الحدوث. فمثلاً، باستخدام الاحتمالات يمكن حساب فرص ظهور وجه القطعة في ثلاث رميات لقطع نقدية

أما الإحصاء فهو ذلك الفرع من الرياضيات الذي يهتم بجمع البيانات وتحليلها لمعرفة الأنماط والاتجاهات العامة. ويعتمد الإحصاء إلى حد كبير على الاحتمالات. وتزود الطرق الإحصائية الحكومات، والتجارة، والعلوم بالمعلومات. فمثلاً، يَسْتَخْدم الفيزيائيون الإحصاء لدراسة سلوك العديد من الجزيئيات في عينة من الغاز

نظرية المجموعات والمنطق. تبحث نظرية المجموعات في صفات وعلاقات المجموعات. والمجموعة هي تجمع من الأشياء، قد تكون أعدادًا، أو أفكارًا أو أشياء أخرى. وتكمن أهمية دراسة المجموعات في التحقق من المفاهيم الرياضية الأساسية

أما في مجال المنطق ـ وهو ذلك الفرع من الفلسفة التي تتعامل مع قواعد التعليل الصحيح. فقد طور علماء الرياضيات المنطق الرمزي. وهو نظام اصطلاحي للتعليل يستخدم الرموز والطرق الرياضية. وقد استنبط علماء الرياضيات نظمًا عديدة للمنطق الرمزي، كانت لها أهميتها في تطوّْر الحاسوب.

[الاستاذ على الدين يحيى]

يقال: الرياضيات هي اللغة التي يجب أن تتكلم بها مختلف العلوم، ما رأيك!!.

مقدمة: تنقسم العلوم إلى شعبتين أساسيتين هما: علوم تجريبية تعتمد على الاستقراء كمنهج و على إجراء التجارب كوسيلة و هي تدرس الواقع الحسي، و علوم نظرية تعتمد على دراسة المعقولات و تتخذ الاستنتاج كمنهج كما هو حال المنطق و الرياضيات فإذا علمنا أن العلوم المختلفة تعبر عن أفكارها بلغة الرياضيات فالمشكلة المطروحة : * كيف نفسر ذلك و بتعبير أوضح؟ كيف نفسر خصوبة الرياضيات و تأثيرها في العلوم المختلفة؟
الرياضيات تفكير عقلي مجرد موضوعها دراسة الكم قال عنها ديكارت هي علم القياس موضوعها الكميات الموجودة و تعرف الرياضيات على أنها هي علم المقدار أو الكم القابل للقياس المتصل و المنفصل و الكم المتصل يتمثل في المكان أو الامتدادات الهندسية و الكم المنفصل يتمثل في الأعداد ـ الحساب- و منها ما هو متغير القيمة و يسمى علم الحساب و منها ما هو متغير القيمة مثل استخدام الحروف بدل الأعداد و هذا هو علم الجبر و المقصود بالكم القابل للقياس أن هناك بعض الكميات لا تقاس مثل الانفعالات التي لا تقبل عمليات القياس . و رأت جماعة من الرياضيين الفرنسيين المعاصرين تعرف بجماعة نيوكولابروباكي أنه هناك اتفاق ساد إلى غاية القرن 19 على أن موضوع الرياضيات هو ما قاله أفلاطون قديما هو الأعداد و المقادير والأشكال و كان قديما ما يضاف إلى الرياضيات الميكانيك و الفلك و البصريات و الموسيقى لكن الإغريق فصلوها عن الرياضيات و ميزوها عن الحساب و الهندسة حتى جاء عصر النهضة فدخلت هذه العلوم سريعا في عداد العلوم المستقلة و للرياضيات مبادئ هي مجموعة من القضايا العامة و الأولية التي يقبلها الرياضي دون برهان عليها قال عنها أرسطو : هي ما يجب أن يتعلمه الطالب قبل تعلم العلم نفسه . و هي على ثلاثة أنواع مسلمات، تعريفات ، بديهيات .
من الناحية التاريخية يعتبر فيثاغورس أبرز من تحدث عن أهمية الرياضيات حيث قال في عبارة مجازية ( الأعداد تحكم العالم) و معنى ذلك أن الكون قد صنع وفق حسابات رياضية و جاء من بعده أفلاطون و كتب على باب الأكاديمية (لا يدخلها إلا من أتقن الرياضيات ) و الهدف واضح من ذلك و هو غرس الأسلوب العلمي بين التفكير و مطالع العصر الحديث تجسد الاهتمام أكبر بالرياضيات حيث استعارت العلوم المختلفة اللغة الرياضية فأصبحت الفيزياء تستعمل الأرقام أو الحروف و هنا تسارع التطور داخل هذا العلم بل و باقي العلوم الأخرى و من هذا قال الفرنسي برغستون(العلم الحديث ابن الرياضيات لم يتولد إلا بعدما صار الجبر مرنا قادرا على شبك الحقائق و الإيقاع بها في شباكه) و أكثر من ذلك أصبحت الرياضيات هي المرجعية التي نعود إليها عندما نريد التأكد من صحة أي علم و هذا ما نلاحظه في العلوم ط و الفيزياء حيث يتم استعمال المعدلات الرياضيات و المنحنيات البيانية بل و حتى الرسومات لتوضيح الأفكار العلمية و من ثم البرهنة عليها قال أوجستت كونت ( الرياضيات هي الأدلة الضرورية لكل العلوم ) و نستطيع أن نلخص مدى اهتمام العلوم المختلفة بالرياضيات فهي عبارة تؤكد ذلك حيث قال أوجست كونت ( الرياضيات أكثر من علم إنها النظام العام للفكر و الأشياء).
تتجلى قيمة الرياضيات في نقاط كثيرة و أول هذه العناصر لغة الرياضيات إنها لغة كمية تعتمد على الأرقام و الحروف و الثوابت والمتغيرات مما يجعلها لغة دقيقة نتيجة الإنفاق حول معاني الرموز و موضوعية لأن لا مجال فيها للعواطف و الأهوال و سريعة ومختصرة للوقت و الجهد قال عنها برغستون (الرياضيات هي اللغة الوحيدة التي يجب أن يتكلم بها كل علم ) و من مزايا الرياضيات أنها تتغير بمنهج منظم هو المنهج الاستدلالي مما يسهل اكتشاف الأخطاء و تصحيحها بل أن الرياضيات عبارة عن نسق يقبل التعديل و التفسير و نتائج الرياضيات أكثر مصداقية و لهذا قيل إن العلوم المختلفة لا تطبق الرياضيات بل تتضمنها .




هل يمكن إرجاع الرياضيات إلى أصول منطقية ؟

مقدمة : تعتبر الرياضيات علم الكم المجرد سواء كان هذا الكم منفصلا أو متصلا ، ونقصد بالأول العداد والتي هي موضوع الجبر والحساب ونقصد بالثاني الخطوط والأشكال والتي هي موضوع الهندسة ، وتعتمد الرياضيات في دراستها علم المنهج الاستدلالي بالطريقة الأستنتاجية التي يعتمد عليها القياس المنطقي ، فهل يعني هذا أن الاستدلال الرياضي هو مجرد صورة للاستدلال المنطقي ؟
التوسيع :
1 القضية : يرى المنطقيون أن الاستدلال الرياضي يعتمد على الاستدلال المنطقي وذلك من حيث الصورة البنائية ذلك أن الاستدلال الرياضي ينطلق من عملياته البرهانية من المبادئ إلى نتائج ، وهي نفس الصورة البنائية التي يعتمد عليها القياس المنطقي وإذا كنا في القياس المنطقي ننطلق من مقدمتين كبرى وصغرى للوصول إلى نتيجة فإننا في الاستدلال الرياضي ننطلق من مبادئ الرياضيات المتمثلة في ـ التعريفات ـ البد يهيات ـ المسلمات لنصل من خلالها إلى حل المسائل الرياضية أو المعادلات ، إذا لم تكن س هي نفسها س في جميع مراحل البرهنة وفقا لمبدأ الهوية ، كما أن التفكير الرياضي لا يقبل التناقض اعتمادا على مبدأ عدم التناقض وهو يظهر جليا باعتماد الرياضيات على المنطق وهو ما جعل راسل يقول : ( المنطق هو شباب الرياضيات ) ** مناقشة : إن هذه المقاربات لا تعني بالضرورة اعتماد الرياضيات على المنطق لا من حيث السيق التاريخي ولا من حيث الطبيعة الإنتاجية للاستدلال الرياضي واعتماده على اللغة الرمزية بالإضافة إلى الاستعمالات المتعددة في حين أن استعمال المنطق يبقى محصورا في مجالات محددة
. نقيض القضية : تظهر استقلالية الاستدلال الرياضي على القياس المنطقي من خلال الخصوبة التي تتمتع بها الرياضيات من حيث تعدد المبادئ وتطورها وعمق العمليات البرهانية وتعدد نتائجها مقابل العقم الموجود في المنطق بحيث أن نتائجه لا تأتي بجديد ، بل هي مجرد تحصيل لما هو حاصل كما أن الرياضيات تعتمد على لغة رمزية و هي أساس الدقة التي يمنع بها التفكير الرياضي في حين يعتمد المنطق على اللغة الطبيعية والتي تحدث باسمها المغالطات ، بالإضافة إلى مجالات الاستعمال بحيث يقتصر استعمال المنطق في المجالات الكلامية والأفكار المجردة والأقيسة الفكرية والعقائدية بينما تستعمل الرياضي في مجالات واسعة تكون من خلالها المفاتيح التي تعتمد عليها جميع العلوم الطبيعية والرياضية . منا قشة: إن هذا التمايز بين الرياضيات والمنطق لا ينبغي على الرياضيات اعتمادها على المنطق في جميع عملياتها البرهانية . التركيب : إن ظهور المنطق الرياضي الذي يعتمد على لغة رياضية رمزية يبين لنا مدى التكامل بين التفكير الرياضي والتفكير المنطقي خاصة وأنهما يشتركان في الطبيعة التجريدية
خاتمة : ومن هذا تستنتج أن الأصل المنطقي للاستدلال الرياضي يتمثل خاصة في الصورة الأستنتاجية التي يعتمد عليها البرهان الرياضي وهو صورة منطقية فلا يمكن أن نقيم البرهان الرياضي بدون احترام قواعد المنطق ، ولكن لا يعني هذا أن نحصر الرياضيات في حدود وضيفة المنطق .





ما الذي يميز الحقيقة الرياضية عن الحقيقة التجريبية ؟

المقدمة : إن غاية العلوم المختلفة هي الوصول إلى حقائق، تختلف بإختلاف طبيعة الموضوع فتكون مجردة كما هو الحال في الرياضيات، أو تجريبية كما هو الحال بالنسبة لعلوم المادة . فما الذي يميز الرياضيات عن علوم المادة ؟و ما الفرق بين الحقيقة الرياضية والحقيقة التجريبية ؟
التوسيع :. I – أوجه الاختلاف : تهتم الرياضيات بدراسة المفاهيم العقلية المجردة القابلة للقياس أما علوم المادة، فموضوعها الظواهر الطبيعية المختلفة الجامدة منها والحية.
إن اختلاف الموضوع يؤدي إلى اختلاف المنهج بحيث أن منهج الرياضيات منهج عقلي استنتاجي، يقوم على استخراج النتائج من المقدمات اللاّزمة عنها لزومًا ضروريا ومنطقيا.لأن معيار الصدق في الرياضيات هو تطابق الفكر مع ذاته دون مراعاة الواقع.
أما منهج العلوم الطبيعية فهو منهج إستقرائي ينتقل فيه العالم من دراسة العينات إلى إستخلاص القوانين وتعميمها. وهو منهج يعتمد على خطوات أساسية :
من ملاحظة – فرضية – تجربة وقانون. وعليه فإن طريقة الرياضي إستنتاجية ينتقل فيها من العام إلى الخاص، أما طريقة العالم فهي إستقرائية ينتقل فيها من الخاص إلى العام.
إن نتائج الرياضيات يقينية ثابتة لآن موضوعها المفاهيم العقلية المجردة ، التي لا يطرأعليها أي تغيير في حين أن نتائج علوم المادة ، نسبية متغيرة لآن موضوعها هو الواقع النسبي المتغير. وبما أن معيار الصدق فيها تطابق الفكر مع ذاته ومع الواقع كانت نتائجها نسبية متغيرة. لهذا يقول " كلود برنار" : إن مبدأ العالم الرياضي يصير مبدأ مطلقا لآنه لا ينطبق على الواقع الموضوعي كما هو، ولكن على علاقات الأشياء المأخوذة في شروط بسيطة يختارها الرياضي ويخلقها في فكرة بشكل من الأشكال.لكن هذا الإختلاف لا يعني عدم وجود عناصر مشتركة بينهما.
أوجه الشبه : كل من الرياضي وعالم المادة يفترض، ثم يستدل على صحة ما إفترض، وكلاهما ينطلق من فكرة يعرفها العقل.
الخاتمة :
نسبة الترابط : إن الرياضيات تعتبر مثل أعلى لجميع العلوم الواقعية التجريبية . نظرًا لدقتها ويقينها.ولذا تصاغ كل القوانين العلمية في قالب رياضي . وكمي، كما هو الحال بالنسبة للفيزياء، كصياغة "غاليلي" لقانون سقوط الأجسام في لغة رياضية. وكذلك" مندل "عندما صاغ قوانين الوراثة على شكل نسب مئوية....إلخ. ومنه فإن التعارض بين الرياضيات وعلوم المادة تعارض زائف لهذا رفض" غاستون باشلار" الفصل بينهما.