إثبات ان ( ن ق 0 ) ^2 + ( ن ق 1 ) ^2 + ......... + ( ن ق ن ) ^2 = ( مضروب 2ن ) على ( مضروب ن ) ^2

[الاستاذ على الدين يحيى]

نعلم أن : ( 1 + س )^ن × ( 1 + س )^ ن = ( 1 + س ) ^ 2ن
وطبعاً مفكوك الطرف الأيمن = مفكوك الطرف الأيسر
[ ن ق 0 + ن ق 1 س + ن ق 2 س^2 ...... + ن ق ن س^ن ] مضروب × نفسه
= [ 2ن ق 0 + 2ن ق 1 س + .......... + 2ن ق ن س^ن + ............. + 2ن ق 2ن س^2ن ]
وهى معادلة من طرفين

تعالى نطلع معامل س^ن من الطرف الأيمن وهو عبارة عن ضرب القوسين بطريقة عكسية
يعنى الحد الأول × الأخير + الحد الثانى × الحد ماقبل الأخير وهكذا ....
= ن ق0 × ن ق ن + ن ق 1 × ن ق ( ن - 1 ) + ........ + ن ق ن × ن ق 0
= ن ق 0 × ن ق 0 + ن ق 1 × ن ق 1 + .................. + ن ق ن × ن ق ن
[ لا حظ هنا أننا استخدمنا قانون التبسيط : ن ق هـ = ن ق ( ن - هـ ) ]
وبالتالى يكون : ن ق ( ن - 1 ) = ن ق [ ن - ( ن - 1 ) ] = ن ق 1 وهكذا
= ( ن ق 0 )^2 + ( ن ق 1 )^2 + ........ + ( ن ق ن )^2 ..................... (1)
والآن من الطرف الأيسر نجد أن معامل س^ن = 2ن ق ن
ودة بيساوى | 2 ن / | ن |2 ن - ن = | 2 ن / ( | ن ) ^ 2 ......................... (2)
من (1) ، (2) الطرفان متساويان .
وهو المطلوب